מתמטריק
בגרות קיץ 2024 מועד א׳ – שני ישרים, מישור ופירמידהוקטורים 572 · שיעור 46
קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 2

בגרות קיץ 2024 מועד א׳ – שני ישרים, מישור ופירמידה

פרק 10 – 10 שאלות בגרות 572 – וקטורים
1נוסח השאלה
2סעיף א – נקודת החיתוך A
3סעיף ב – הערך של k
4סעיף ג – משוואת המישור
5סעיף ד – למה המשולש AOB נמצא במישור
6סעיף ה – שיעורי הנקודה S
📄 נוסח השאלה
נתונים שני ישרים ℓ1 ו־ℓ2. לפניכם הצגה פרמטרית של כל אחד מן הישרים:
ℓ1 : x = t(−1 , 3 , 0)
ℓ2 : x = (1 , −3 , 0) + m(0 , k , 1)
k הוא פרמטר. הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישרים ℓ1 ו־ℓ2.
א. מצאו את שיעורי הנקודה A.
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. נתון שהקוסינוס של הזווית בין הישרים ℓ1 ו־ℓ2 הוא 3√25. מצאו את הערך של k שבעבורו זה מתקיים.
הציבו k = 2 וענו על הסעיפים ג–ה.
המישור מכיל את הישרים ℓ1 ו־ℓ2 (בשאלון המישור מסומן באות יוונית; כאן נקרא לו פשוט "המישור").
ג. מצאו את משוואת המישור.
📄 נוסח השאלה · המשך
הנקודה B נמצאת על הישר ℓ2, והנקודה O היא ראשית הצירים. המשולש AOB הוא שווה שוקיים, AO = AB.
ד. הסבירו מדוע המשולש AOB נמצא במישור.
מן הנקודה A מעלים אנך למישור ומסמנים עליו את הנקודה S. נתון: נפח הפירמידה SAOB הוא 14√23.
ה. מצאו את שיעורי הנקודה S (את שתי האפשרויות).
סעיף א – נקודת החיתוך A
נשווה את שתי ההצגות (נקודה משותפת לשני הישרים):
t(−1 , 3 , 0) = (1 , −3 , 0) + m(0 , k , 1)
📐 נוסחה: נקודת חיתוך של ישרים
נכתוב משוואה לכל רכיב:
x: −t = 1
y: 3t = −3 + mk
z: 0 = m
📐 נוסחה: נקודת חיתוך של ישרים
משווים את הרכיבים: x = x , y = y , z = z
סעיף א – נקודת החיתוך A · המשך
z: 0 = m
מהמשוואה של z: m = 0. מהמשוואה של x: t = −1.
נבדוק במשוואה של y:
3t = −3 + mk
נציב t = −1 , m = 0:
3 · (−1) = −3 + 0 · k
סעיף א – נקודת החיתוך A · המשך
3 · (−1) = −3 + 0 · k
−3 = −3 ✔
המשוואה מתקיימת לכל k. הנקודה A נמצאת על הישר ℓ1:
A = t(−1 , 3 , 0)
נציב t = −1:
A = −1 · (−1 , 3 , 0)
סעיף א – נקודת החיתוך A · המשך
A = −1 · (−1 , 3 , 0)
A = (1 , −3 , 0)
✅ פתרון סופי: A(1 , −3 , 0)
סעיף ב – הערך של k
וקטורי הכיוון של הישרים:
u = (−1 , 3 , 0)
v = (0 , k , 1)
נחשב את המכפלה הסקלרית ואת האורכים:
u · v = ad + be + cf
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית
נציב u = (a , b , c) = (−1 , 3 , 0) , v = (d , e , f) = (0 , k , 1):
📐 נוסחה: מכפלה סקלרית
(a , b , c) · (d , e , f) = ad + be + cf
סעיף ב – הערך של k · המשך
נציב u = (a , b , c) = (−1 , 3 , 0) , v = (d , e , f) = (0 , k , 1):
u · v = −1 · 0 + 3 · k + 0 · 1
u · v = 3k
|u| = √(a2 + b2 + c2)
📐 נוסחה: אורך וקטור
נציב u = (−1 , 3 , 0):
|u| = √((−1)2 + 32 + 02) = √10
📐 נוסחה: אורך וקטור
|(a , b , c)| = √(a2 + b2 + c2)
סעיף ב – הערך של k · המשך
|u| = √((−1)2 + 32 + 02) = √10
|v| = √(a2 + b2 + c2)
📐 נוסחה: אורך וקטור
נציב v = (0 , k , 1):
|v| = √(02 + k2 + 12) = √(k2 + 1)
נוסחת הזווית בין ישרים:
|u · v||u| · |v| = cos
📐 נוסחה: אורך וקטור
|(a , b , c)| = √(a2 + b2 + c2)
סעיף ב – הערך של k · המשך
|u · v||u| · |v| = cos
נציב u · v = 3k , |u| = √10 , |v| = √(k2 + 1) , cos = 3√25:
|3k|√10 · √(k2 + 1) = 3√25
📐 נוסחה: הזווית בין שני ישרים
שני האגפים חיוביים, ולכן נעלה בריבוע:
9k210(k2 + 1) = 9 · 225 = 1825
נכפיל בהצלבה:
📐 נוסחה: הזווית בין שני ישרים
cos = |u · v||u| · |v|
u , v – וקטורי הכיוון
סעיף ב – הערך של k · המשך
נכפיל בהצלבה:
25 · 9k2 = 18 · 10(k2 + 1)
225k2 = 180k2 + 180
45k2 = 180
k2 = 4
k = 2 או k = −2
סעיף ב – הערך של k · המשך
k = 2 או k = −2
בשני המקרים |3k| = 6 ו־k2 + 1 = 5, ולכן שני הערכים מתאימים.
✅ פתרון סופי: k = 2 או k = −2
סעיף ג – משוואת המישור
עם k = 2 וקטורי הכיוון במישור הם:
u = (−1 , 3 , 0)
v = (0 , k , 1)
נציב k = 2:
v = (0 , 2 , 1)
נסמן את הנורמל n = (a , b , c). הוא מאונך לשני הכיוונים:
סעיף ג – משוואת המישור · המשך
נסמן את הנורמל n = (a , b , c). הוא מאונך לשני הכיוונים:
n · u = 0
📐 נוסחה: וקטור נורמל למישור
n · v = 0
📐 נוסחה: וקטור נורמל למישור
נציב n = (a , b , c) , u = (−1 , 3 , 0) , v = (0 , 2 , 1):
(a , b , c) · (−1 , 3 , 0) = −a + 3b = 0
(a , b , c) · (0 , 2 , 1) = 2b + c = 0
📐 נוסחה: וקטור נורמל למישור
n · u = 0 , n · v = 0
u , v – שני כיוונים במישור
📐 נוסחה: וקטור נורמל למישור
n · u = 0 , n · v = 0
u , v – שני כיוונים במישור
סעיף ג – משוואת המישור · המשך
(a , b , c) · (0 , 2 , 1) = 2b + c = 0
מהמשוואה הראשונה a = 3b, ומהשנייה c = −2b:
n = (3b , b , −2b)
נבחר b = 1 (כדי לקבל מספרים שלמים) ונציב:
n = (3 · 1 , 1 , −2 · 1) = (3 , 1 , −2)
משוואת המישור:
סעיף ג – משוואת המישור · המשך
משוואת המישור:
ax + by + cz + d = 0
📐 נוסחה: משוואת מישור
נציב n = (a , b , c) = (3 , 1 , −2):
3x + 1 · y + (−2)z + d = 0
3x + y − 2z + d = 0
המישור מכיל את ℓ1, ולכן הוא עובר דרך ראשית הצירים (הנקודה של ℓ1 עבור t = 0):
📐 נוסחה: משוואת מישור
ax + by + cz + d = 0
(a , b , c) – הנורמל
סעיף ג – משוואת המישור · המשך
המישור מכיל את ℓ1, ולכן הוא עובר דרך ראשית הצירים (הנקודה של ℓ1 עבור t = 0):
3x + y − 2z + d = 0
נציב O(0 , 0 , 0):
3 · 0 + 0 − 2 · 0 + d = 0
d = 0
3x + y − 2z = 0
סעיף ג – משוואת המישור · המשך
3x + y − 2z = 0
בדיקה: נציב A(1 , −3 , 0):
3 · 1 + (−3) − 2 · 0 = 0 ✔
✅ פתרון סופי: 3x + y − 2z = 0
סעיף ד – למה המשולש AOB נמצא במישור
הנקודה O היא ראשית הצירים, והיא נמצאת על הישר ℓ1 (עבור t = 0).
הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישרים, והנקודה B נמצאת על הישר ℓ2.
שני הישרים ℓ1 ו־ℓ2 מוכלים במישור, ולכן כל שלושת הקודקודים A, O ו־B נמצאים במישור.
משולש שכל קודקודיו נמצאים במישור – כולו נמצא במישור.
✅ פתרון סופי: כל קודקודי המשולש נמצאים על הישרים ℓ1 ו־ℓ2 שבמישור, ולכן המשולש AOB נמצא במישור
סעיף ה – שיעורי הנקודה S
הנקודה B על הישר ℓ2 (עם k = 2):
B(1 , −3 + 2m , m)
נחשב את AO (מ־A(1 , −3 , 0) לראשית):
AO = √(a2 + b2 + c2)
📐 נוסחה: אורך וקטור
נציב (a , b , c) = (1 , −3 , 0) (השיעורים של A , כי O היא ראשית הצירים):
AO = √(12 + (−3)2 + 02) = √10
📐 נוסחה: אורך וקטור
|(a , b , c)| = √(a2 + b2 + c2)
סעיף ה – שיעורי הנקודה S · המשך
AO = √(12 + (−3)2 + 02) = √10
נחשב את AB:
AB = B − A
נציב B(1 , −3 + 2m , m) , A(1 , −3 , 0):
AB = (1 , −3 + 2m , m) − (1 , −3 , 0)
AB = (0 , 2m , m)
סעיף ה – שיעורי הנקודה S · המשך
AB = (0 , 2m , m)
AB = m(0 , 2 , 1)
AB = |m| · √(a2 + b2 + c2)
📐 נוסחה: אורך וקטור
נציב (a , b , c) = (0 , 2 , 1):
AB = |m| · √(02 + 22 + 12) = |m| · √(0 + 4 + 1)
AB = |m|√5
📐 נוסחה: אורך וקטור
|(a , b , c)| = √(a2 + b2 + c2)
סעיף ה – שיעורי הנקודה S · המשך
AB = |m|√5
לפי הנתון AO = AB:
AB = AO
נציב AB = |m|√5 , AO = √10:
|m|√5 = √10
|m| = √2
סעיף ה – שיעורי הנקודה S · המשך
|m| = √2
יש שתי נקודות B אפשריות (m = √2 או m = −√2), ובשתיהן שטח המשולש יוצא זהה, כפי שנראה.
הזווית OAB היא הזווית בין הקטעים AO ו־AB, שנמצאים על הישרים ℓ1 ו־ℓ2. לכן הזווית OAB שווה לזווית בין הישרים או משלימה אותה ל־180 מעלות – ובשני המקרים לסינוס אותו ערך.
לפי סעיף ב הקוסינוס של הזווית בין הישרים הוא 3√25. נמצא את הסינוס:
sin2(OAB) = 1 − cos2(OAB)
📐 נוסחה: זהות טריגונומטרית
📐 נוסחה: זהות טריגונומטרית
sin2x + cos2x = 1
סעיף ה – שיעורי הנקודה S · המשך
sin2(OAB) = 1 − cos2(OAB)
📐 נוסחה: זהות טריגונומטרית
נציב cos2(OAB) = (3√25)2:
sin2(OAB) = 1 − (3√25)2 = 1 − 1825 = 725
sin(OAB) = √75
שטח המשולש AOB:
S = 12 · AO · AB · sin(OAB)
📐 נוסחה: שטח משולש
📐 נוסחה: זהות טריגונומטרית
sin2x + cos2x = 1
📐 נוסחה: שטח משולש
S = 12 · a · b · sin C
סעיף ה – שיעורי הנקודה S · המשך
S = 12 · AO · AB · sin(OAB)
📐 נוסחה: שטח משולש
נציב AO = √10 , AB = √10 , sin(OAB) = √75:
S = 12 · √10 · √10 · √75
S = 12 · 10 · √75 = √7
הגובה של הפירמידה הוא AS (האנך למישור הבסיס). נוסחת הנפח:
13 · Sבסיס · h = V
📐 נוסחה: שטח משולש
S = 12 · a · b · sin C
סעיף ה – שיעורי הנקודה S · המשך
13 · Sבסיס · h = V
נציב Sבסיס = √7 , h = AS , V = 14√23:
13 · √7 · AS = 14√23
📐 נוסחה: נפח פירמידה
√7 · AS = 14√2
AS = 14√2√7 = 14 · √2√7
AS = 14 · √147 = 2√14
📐 נוסחה: נפח פירמידה
V = 13 · Sבסיס · h
סעיף ה – שיעורי הנקודה S · המשך
AS = 14 · √147 = 2√14
האנך למישור דרך A – וקטור הכיוון שלו הוא הנורמל n = (3 , 1 , −2):
S = A + s · n
נציב A(1 , −3 , 0) , n = (3 , 1 , −2):
S = (1 , −3 , 0) + s · (3 , 1 , −2)
📐 נוסחה: ישר מאונך למישור
S = (1 , −3 , 0) + s(3 , 1 , −2)
📐 נוסחה: ישר מאונך למישור
וקטור הכיוון של האנך = הנורמל של המישור
סעיף ה – שיעורי הנקודה S · המשך
S = (1 , −3 , 0) + s(3 , 1 , −2)
S = (1 + 3s , −3 + s , −2s)
אורך הקטע AS:
AS = |s| · √(a2 + b2 + c2)
📐 נוסחה: אורך וקטור
נציב n = (a , b , c) = (3 , 1 , −2):
AS = |s| · √(32 + 12 + (−2)2) = |s| · √(9 + 1 + 4)
📐 נוסחה: אורך וקטור
|(a , b , c)| = √(a2 + b2 + c2)
סעיף ה – שיעורי הנקודה S · המשך
AS = |s| · √(32 + 12 + (−2)2) = |s| · √(9 + 1 + 4)
AS = |s|√14
|s|√14 = AS
נציב AS = 2√14 (מצאנו למעלה):
|s|√14 = 2√14
|s| = 2
סעיף ה – שיעורי הנקודה S · המשך
|s| = 2
s = 2 או s = −2
S = (1 + 3s , −3 + s , −2s)
נציב s = 2:
S = (1 + 3 · 2 , −3 + 2 , −2 · 2)
S = (1 + 6 , −3 + 2 , −4)
סעיף ה – שיעורי הנקודה S · המשך
S = (1 + 6 , −3 + 2 , −4)
S = (7 , −1 , −4)
נציב s = −2:
S = (1 + 3 · (−2) , −3 + (−2) , −2 · (−2))
S = (1 − 6 , −3 − 2 , 4)
S = (−5 , −5 , 4)
סעיף ה – שיעורי הנקודה S · המשך
S = (−5 , −5 , 4)
━ המשולש AOB (כחול) ━ האנך למישור (סגול) ━ מקצועות הפירמידה (ירוק)
הסרטוט בהטלה מרחבית לפי השיעורים האמיתיים (עם B שעבורו m = √2).
✅ פתרון סופי: S(7 , −1 , −4) או S(−5 , −5 , 4)

📌 סיכום התשובות

סעיף א
A(1 , −3 , 0)
סעיף ב
k = 2 או k = −2
סעיף ג
3x + y − 2z = 0
סעיף ד
הסבר
סעיף ה
S(7 , −1 , −4) או S(−5 , −5 , 4)
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא